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Inhaltsverzeichnis
Vorwort
1 Java ist auch eine Sprache
2 Sprachbeschreibung
3 Klassen und Objekte
4 Der Umgang mit Zeichenketten
5 Mathematisches
6 Eigene Klassen schreiben
7 Angewandte Objektorientierung
8 Exceptions
9 Die Funktionsbibliothek
10 Threads und nebenläufige Programmierung
11 Raum und Zeit
12 Datenstrukturen und Algorithmen
13 Dateien und Datenströme
14 Die eXtensible Markup Language (XML)
15 Grafische Oberflächen mit Swing
16 Grafikprogrammierung
17 Netzwerkprogrammierung
18 Verteilte Programmierung mit RMI und Web-Services
19 JavaServer Pages und Servlets
20 Applets
21 Midlets und die Java ME
22 Datenbankmanagement mit JDBC
23 Reflection und Annotationen
24 Logging und Monitoring
25 Sicherheitskonzepte
26 Java Native Interface (JNI)
27 Dienstprogramme für die Java-Umgebung
A Die Begleit-DVD
Stichwort
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Java ist auch eine Insel von Christian Ullenboom Programmieren mit der Java Standard Edition Version 6
Java ist auch eine Insel 7., aktualisierte Auflage geb., mit DVD (November 2007) 1.492 S., 49,90 Euro Galileo Computing ISBN 978-3-8362-1146-8 |
| 5 Mathematisches
|  | 5.1 Repräsentation ganzer Zahlen – das Zweierkomplement
|  | 5.2 Fließkommaarithmetik in Java
|  |  | 5.2.1 Mantisse und Exponent
|  |  | 5.2.2 Spezialwerte Unendlich, Null, NaN
|  | 5.3 Wertebereich eines Typs und Überlaufkontrolle
|  |  | 5.3.1 Behandlung des Überlaufs
|  | 5.4 Die Eigenschaften der Klasse Math
|  |  | 5.4.1 Attribute
|  |  | 5.4.2 Absolutwerte und Maximum/Minimum
|  |  | 5.4.3 Winkelfunktionen
|  |  | 5.4.4 Runden von Werten
|  |  | 5.4.5 Wurzel und Exponentialfunktionen
|  |  | 5.4.6 Der Logarithmus
|  |  | 5.4.7 Rest der ganzzahligen Division
|  |  | 5.4.8 Zufallszahlen
|  | 5.5 Mathe bitte strikt
|  |  | 5.5.1 Strikt Fließkomma mit strictfp
|  |  | 5.5.2 Die Klassen Math und StrictMath
|  | 5.6 Die Random-Klasse
|  |  | 5.6.1 Objekte aufbauen und der Seed
|  |  | 5.6.2 Zufallszahlen erzeugen
|  |  | 5.6.3 Pseudo-Zufallszahlen in der Normalverteilung
|  | 5.7 Große Zahlen
|  |  | 5.7.1 Die Klasse BigInteger
|  |  | 5.7.2 Funktionen von BigInteger
|  |  | 5.7.3 Ganz lange Fakultäten
|  |  | 5.7.4 Große Fließkommazahlen mit BigDecimal
|  |  | 5.7.5 Mit MathContext komfortabel die Rechengenauigkeit setzen
|  | 5.8 Zum Weiterlesen
## 5.2 Fließkommaarithmetik in Java Zahlen mit einem Komma nennen sich Gleitkomma-, Fließkomma-, Fließpunkt- oder Bruchzahlen (gebrochene Zahlen). Der Begriff »Gleitkommazahl« kommt daher, dass die Zahl durch das Gleiten (Verschieben) des Dezimalpunkts als Produkt aus einer Zahl und einer Potenz der Zahl 10 dargestellt wird (also 1,23 = 123 * 10 – 2 ). Java unterstützt für Fließkommazahlen die Typen float und double, die sich nach der Spezifikation IEEE 754 richten. Diesen Standard des »Institute of Electrical and Electronics Engineers« gibt es seit Mitte der 80er Jahre. Ein float hat die Länge von 32 Bit und ein double die Länge von 64 Bit. Die Rechenoperationen sind im IEEE-Standard »Binary and Floating-Point Arithmetic« definiert.
Hinweis Wir sollten uns bewusst sein, dass die Genauigkeit von float wirklich nicht so toll ist. Schnell beginnt die Ungenauigkeit zuzuschlagen:
    System.out.println( 2345678.88f );   //  2345679.0
### 5.2.1 Mantisse und Exponent Intern bestehen Fließkommazahlen aus drei Teilen: einem Vorzeichen, einem ganzzahligen Exponenten und einer Mantisse (engl. Mantissa). Während die Mantisse die Genauigkeit bestimmt, gibt der Exponent die Größenordnung der Zahl an. Die Berechnung für Fließkommazahlen aus den drei Elementen ist im Prinzip wie folgt: Vorzeichen * 2 ^ Exponent * Mantisse, wobei Vorzeichen –1 oder +1 sein kann. Die Mantisse m ist keine Zahl mit beliebigem Wertebereich, sondern normiert mit dem Wertebereich 1 <= m < 2, also eine Fließkommazahl, die mit 1 beginnt und daher auch 1-plus-Form heißt. [Es gibt eine Ausnahme durch denormalisierte Zahlen, aber das spielt für das Verständnis keine Rolle. ] Auch der zunächst vorzeichenbehaftete Exponent wird nicht direkt gespeichert, sondern als angepasster Exponent (engl. biased exponent) in der IEEE-kodierten Darstellung abgelegt. Zu unserem Exponenten wird, abhängig von der Genauigkeit, +127 (bei float) und +1023 (bei double) addiert; nach der Berechnung steht in der Darstellung immer eine ganze Zahl. 127 und 1023 nennen sich Bias. Das Vorzeichen kostet immer ein Bit, und die Anzahl der Bits für Exponent und Mantisse richtet sich nach dem Datentyp.

Datentyp | Anzahl Bits für den Exponenten | Anzahl Bits für die Mantisse
float | 8 | 23
double | 11 | 52
Beispiel Das Folgende sind Kodierungen für die Zahl 123456,789 als float und double. Das »·« trennt Vorzeichen, Exponent und Mantisse:
    0·10001111·11100010010000001100101
    0·10000001111·1110001001000000110010011111101111100111011011001001
Um von dieser Darstellung auf die Zahl zu kommen, schreiben wir:
    BigInteger biasedExponent = new BigInteger( "10001111", 2 );
    BigInteger mantisse = new BigInteger( "11100010010000001100101", 2 );
    int exponent = (int) Math.pow( 2, biasedExponent.longValue() – 127 );
    double m = 1. + (mantisse.longValue() / Math.pow( 2, 23 ));
    System.out.println( exponent * m );               // 123456.7890625
Der Exponent (ohne Bias) einer Fließkommazahl liefert Math.getExponent(), auf unsere Zahl angewendet also 16.
Wenn uns beim Wort double im Vergleich zu float ein »doppelte Genauigkeit« über die Lippen kommt, müssen wir mit der Aussage vorsichtig sein, denn double bietet zumindest nach der Anzahl der Bits eine mehr als doppelt so präzise Mantisse. Über die Anzahl der Nachkommastellen sagt das jedoch direkt nichts aus.
Bastelaufgabe Warum sind die Ausgaben so, wie sie sind? Listing 5.1 DoubleFloatEqual.java, main()
    double d1 = 0.02d;
    float  f1 = 0.02f;
    System.out.println( d1 == f1 );         // false
    System.out.println( (float) d1 == f1 ); // true

    double d2 = 0.02f;
    float  f2 = 0.02f;
    System.out.println( d2 == f2 );         // true
### 5.2.2 Spezialwerte Unendlich, Null, NaN Die Datentypen double und float können nicht nur »Standardzahlen« speichern. Java definiert Sonderwerte für eine positive oder negative Null, positives und negatives Unendlich (engl. infinity) und NaN, die Abkürzung für Not-a-Number. #### Unendlich Der Überlauf führt zu einem positiven oder negativen Unendlich.
Beispiel Multiplikation zweier wirklich großer Werte:
    System.out.println(  1E300 * 1E20 );    //  Infinity
    System.out.println( –1E300 * 1E20 );    // -Infinity
Für die Werte deklariert die Java-Bibliothek in Double und Float zwei Konstanten; zusammen mit der größten und kleinsten darstellbaren Fließkommazahl sind das:
Wert für | Float | Double
Positiv unendlich | Float.POSITIVE_INFINITY | Double.POSITIVE_INFINITY
Negativ unendlich | Float.NEGATIVE_INFINITY | Double.NEGATIVE_INFINITY
Kleinster Wert | Float.MIN_VALUE | Double.MIN_VALUE
Größter Wert | Float.MAX_VALUE | Double.MAX_VALUE
Das Minimum für double-Werte liegt bei etwa 10^-324 und das Maximum bei etwa 10^308.
Hinweis Die Anzeige des Über-/Unterlaufs und des undefinierten Ergebnisses gibt es nur bei Fließkommazahlen, nicht aber bei Ganzzahlen.
#### Positive, negative Null Der Vergleichsoperator == unterscheidet die positive Null (+0,0) und die negative Null (–0,0) nicht und so sind sie gleich (0.0 == –0.0). Damit ist auch 0.0 > –0.0 falsch. Die Bitmaske ist jedoch unterscheidbar, was der Vergleich Double.doubleToLongBits(+0.0) != Double.doubleToLongBits(-0.0) zeigt.
Beispiel Der Unterlauf erzeugt:
    System.out.println( 1E-322 *  0.0001 );  //  0.0
    System.out.println( 1E-322 * –0.0001 );  // –0.0
Es gibt einen weiteren kleinen Unterschied, den wir anhand der Rechnung 1.0 / –0.0 und 1.0 / 0.0 leicht erkennen. Durch den Grenzwert geht das Ergebnis einmal gegen negativ unendlich und einmal gegen positiv unendlich. #### NaN NaN wird als Fehlerindikator für das Ergebnis von undefinierten Rechenoperationen benutzt, etwa 0/0.
Beispiel Erzeuge NaN:
    System.out.println( Math.sqrt(-4) );     // NaN
    System.out.println( 0.0 / 0.0);          // NaN
NaN ist als Konstante in den Klassen Double und Float deklariert. Die Methode isNaN() testet, ob eine Zahl NaN ist. Die API-Dokumentation am Beispiel von Double:
    public final class java.lang.Double
    extends Number
    implements Comparable<Double>
public static final double NaN = 0.0 / 0.0; Deklaration von NaN bei Double. boolean isNaN() Liefert true, wenn das aktuelle Double-Objekt eine NaN ist. public static boolean isNaN( double v ) Liefert true, wenn die übergebene Zahl v eine NaN ist. Die Implementierung von isNan(double v) ist einfach: return v != v. #### Alles hat seine Ordnung Außer für den Wert NaN ist auf allen Fließkommazahlen eine totale Ordnung definiert. Das heißt: sie lassen sich von der kleinsten Zahl bis zur größten aufzählen. Am Rand steht die negative Unendlichkeit, dann folgen die negativen Zahlen, negative Null, positive Null, positive Zahlen und positives Unendlich. Bleibt nur noch die einzige unsortierte Zahl NaN. Alle numerischen Vergleiche <, <=, >, >= mit NaN liefern false. Der Vergleich mit == ist false, wenn einer der Operanden NaN ist. != verhält sich umgekehrt, ist also true, wenn einer der Operanden NaN ist.
Beispiel NaN beim Gleichheitstest:
    System.out.println( Double.NaN == Double.NaN ); // false
    System.out.println( Double.NaN != Double.NaN ); // true
Ein NaN auf eine Ganzzahl angepasst, also etwa (int) Double.NaN, gibt 0. #### Stille NaNs Eine Problematik in der Fließkomma-Arithmetik ist, dass keine Ausnahmen die Fehler anzeigen; NaNs solcher Art heißen auch stille NaNs, (engl. Quiet NaN s (qNaNs)). Als Entwickler müssten wir also immer selbst schauen, ob das Ergebnis während einer Berechnung korrekt bleibt. Ein durchschnittlicher numerischer Prozessor unterscheidet ein qNaN und ein signaling NaN (sNaN). ### Ihr Kommentar Wie hat Ihnen das <openbook> gefallen? Wir freuen uns immer über Ihre freundlichen und kritischen Rückmeldungen.
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